SVD

简介

Singular Value Decomposition（SVD）是一种矩阵分解方式，可以将一个实数矩阵分解为三个实数矩阵的乘积：$M=U\Sigma V^T$，其中$U$和$V$是正交矩阵，$\Sigma$是一个对角线元素非负且按照递减顺序排序的对角矩阵。Open3D中的open3d.core.Tensor类提供了求解SVD的方法。

API

def svd(self, full_matrices=True, compute_uv=True) -> Tuple[Tensor, Union[Tensor, None], Union[Tensor, None]]:
    """
    Computes the singular value decomposition (SVD).

    Parameters
    ----------
    full_matrices : bool
        If True, `U` and `V` are of shape `(M, M)` and `(N, N)`, respectively. If False, `U` and `V` are of shape `(M, K)` and `(K, N)`, where `K = min(M, N)`.
    compute_uv : bool
        Whether to compute both `U` and `V`. If False, only the singular values `S` will be returned.

    Returns
    -------
    U : Tensor
        Unitary matrix. If `full_matrices=False`, `U` is of shape `(M, K)`, and the first `K` columns of `U` contains the left singular vectors.
    S : Tensor or None
        Singular values. If `compute_uv=False`, `S` is returned as a 1-D tensor of shape `(K,)`. Otherwise, it is returned as a diagonal matrix of shape `(K, K)`.
    V : Tensor or None
        Unitary matrix. If `full_matrices=False`, `V` is of shape `(K, N)`, and the first `K` rows of `V` contains the right singular vectors.
    """

参数

• full_matrices：当full_matrices=True时，U和V的形状分别为(M, M)和(N, N)；当full_matrices=False时，U和V的形状分别为(M, K)和(K, N)，其中$K=min(M,N)$。默认值为True。
• compute_uv：是否计算U和V。如果compute_uv=False，仅返回奇异值s，形状为(K,)；否则，同时返回U和V。默认值为True。

返回值

• U：左奇异向量，形状为(M, K)。
• S：奇异值，形状为(K,)或(K, K)。
• V：右奇异向量，形状为(K, N)。

例子

import open3d.core as o3c

# create a 3x5 matrix
x = o3c.Tensor([[1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0], 
                [6.0, 7.0, 8.0, 9.0, 10.0], 
                [11.0, 12.0, 13.0, 14.0, 15.0]])

# compute SVD by setting `full_matrices=False` and `compute_uv=True`
u, s, v = x.svd(full_matrices=False, compute_uv=True)

# check outputs
print(u)
print(s)
print(v)

输出：

70.5721    -0.4082    -0.0625    -0.5655    -0.4268
89.6025    -0.0793     0.1815     0.5017     0.0150
108.6329     0.2497     0.4254    -0.0554     0.5268

_tensor([34.9689, 1.4680, 0.0000], dtype=torch.float64)
90.0167    -0.4415    -0.1120    -0.1006    -0.8768
0.0000     0.7913     0.1063     0.5780    -0.1832

这个例子展示了如何使用open3d.core.Tensor计算一个实数矩阵的奇异值分解。我们创建了一个3x5的矩阵，然后使用svd方法计算其SVD。在这个例子中，我们设置了full_matrices=False和compute_uv=True，代表我们希望输出奇异值、左奇异向量的前$K$列以及右奇异向量的前$K$行（其中$K$为$\min(M,N)$），并将它们存储在变量u、s和v中。我们最后输出了这些变量的值，以检查计算结果是否正确。