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在上一章中，我们对光栅化渲染技术进行了高级概述。 它可以分解为两个主要阶段：首先，将三角形的顶点投影到画布上，然后对三角形本身进行光栅化。 在这种情况下，光栅化意味着将三角形的形状“分解”为像素或光栅元素正方形； 这就是过去所说的像素。
在本章中，我们将回顾第一步。 这个方法我们在前两课已经介绍过了，这里就不再解释了。 如果你对透视投影背后的原理有任何疑问，请再次查看这些课程。 然而，在本章中，我们将研究一些与投影相关的新技巧，当我们学习透视投影矩阵的课程时，这些技巧将很有用。 我们将学习一种将投影顶点坐标从屏幕空间重新映射到 NDC 空间的新方法。 我们还将详细了解 z 坐标在光栅化算法中的作用以及在投影阶段应如何处理它。
请记住，正如上一章已经提到的，光栅化渲染技术的目标是解决可见性或隐藏表面问题，即确定 3D 对象的哪些部分是可见的，哪些部分是隐藏的。
1、投影：我们要解决什么问题？
在光栅化算法的那个阶段我们要解决什么问题？ 正如上一章所解释的，光栅化的原理是查找图像中的像素是否与三角形重叠。 为此，我们首先需要将三角形投影到画布上，然后将它们的坐标从屏幕空间转换为光栅空间。 然后，像素和三角形被定义在同一空间中，这意味着可以比较它们各自的坐标（我们可以根据三角形顶点的光栅空间坐标检查给定像素的坐标）。
因此，该阶段的目标是将构成三角形的顶点从相机空间（camera space）转换为光栅空间（raster space）。
2、投影顶点：注意 Z 坐标！
在前两课中，我们提到当我们计算 3D 点的栅格坐标时，我们最终需要的是它的 x 和 y 坐标（3D 点在图像中的位置）。 快速提醒一下，请记住，这些 2D 坐标是通过将相机空间中 3D 点的 x 和 y 坐标除以该点各自的 z 坐标（我们称为透视除法），然后重新映射生成的 2D 坐标来获得的 从屏幕空间到 NDC 空间，然后从 NDC 空间到光栅空间。 请记住，由于图像平面位于近裁剪平面，因此我们还需要将 x 坐标和 y 坐标乘以近裁剪平面。 同样，我们在前两课中非常详细地解释了这个过程：
请注意，到目前为止，我们一直将屏幕空间中的点视为本质上的 2D 点（我们不需要在透视划分后使用点的 z 坐标）。 但从现在开始，我们将屏幕空间中的点声明为 3D 点，并将它们的 z 坐标设置为相机空间点的 z 坐标，如下所示：
此时最好将投影点 z 坐标设置为原始点 z 坐标的倒数，正如你现在所知，原始点 z 坐标为负值。 处理正 z 坐标将使以后的一切变得更简单（但这不是强制性的）：
需要跟踪相机空间中的顶点 z 坐标来解决可见性问题。 如果查看图 1，就会更容易理解其中的原因。想象一下两个顶点 v1 和 v2，当投影到画布上时，它们具有相同的光栅坐标（如图 1 所示）。 如果我们将 v1 投影在 v2 之前，那么 v2 在应该是 v1 的情况下将在图像中可见（v1 明显在 v2 前面）。 但是，如果我们将顶点的 z 坐标与其 2D 光栅坐标一起存储，则可以使用这些坐标来定义最接近相机的点，而与顶点投影的顺序无关（如代码片段所示）：
// project v2
Vec3f v2screen;
v2screen.x = near * v2camera.x / -v2camera.z;
v2screen.y = near * v2camera.y / -v2camera.z;
v2screen.z = -v2cam.z;
Vec3f v1screen;
v1screen.x = near * v1camera.x / -v1camera.z;
v1screen.y = near * v1camera.y / -v1camera.z;
v1screen.z = -v1camera.z;
// If the two vertices have the same coordinates in the image then compare their z-coordinate
if (v1screen.x == v2screen.x && v1screen.y == v2screen.y && v1screen.z < v2screen.z) {
// if v1.z < v2.z then store v1 in frame-buffer
....
}
我们想要渲染的是三角形，而不是顶点。 那么问题来了，我们刚刚学到的方法如何应用于三角形呢？ 简而言之，我们将使用三角形顶点坐标来查找像素重叠的三角形上的点的位置（因此它是 z 坐标）。 这个想法如图 2 所示。如果一个像素与两个或多个三角形重叠，我们应该能够计算像素重叠的三角形上的点的位置，并使用这些点的 z 坐标，就像我们处理顶点，以了解哪个三角形距离相机最近。 该方法将在后面文章详细描述。
3、屏幕空间也是三维的
总而言之，要从相机空间到屏幕空间（这是发生透视划分的过程），我们需要：
- 执行透视除法：即将相机空间 x 和 y 坐标中的点除以点 z 坐标：
- 但还将投影点 z 坐标设置为原始点 z 坐标（相机空间中的点）：
实际上，这意味着我们的投影点不再是 2D 点，而是 3D 点。 或者换句话说，屏幕空间不是二维的。 埃德-卡特穆尔在他的论文中写道：
屏幕空间也是三维的，但对象已经经历了透视变形，因此对象在 x-y 平面上的正交投影将产生预期的透视图像。 — Ed-Catmull 的论文，1974
你现在应该能够理解这句话了。 图 3 还说明了该过程。首先，在相机空间中定义几何顶点（上图）。 然后，每个顶点都会经历透视划分。 也就是说，顶点 x 坐标和 y 坐标除以它们的 z 坐标，但如前所述，我们还将生成的投影点 z 坐标设置为原始顶点 z 坐标的倒数。 顺便说一句，这意味着屏幕空间坐标系的 z 轴方向发生了变化。
正如你所看到的，z 轴现在指向内而不是向外（图 3 中的中间图像）。 但最需要注意的是，生成的对象是原始对象的变形版本，而是三维对象。 此外，Ed-Catmull 所写的“将对象正交投影到 x-y 平面上，将产生预期的透视图像”时的意思是，一旦对象位于屏幕空间中，如果我们追踪垂直于 x-y 图像平面的从对象到画布的线 ，然后我们得到该对象的透视表示（如图 4 所示）：
这是一个有趣的观察，因为它意味着图像创建过程可以被视为透视投影和正交投影。 如果你不清楚透视和正交投影之间的区别，请不要担心。 这是下一课的主题。 不过，请尝试记住这一观察结果，因为稍后它会变得很方便。
4、将屏幕空间坐标重新映射到 NDC 空间
在前两课中，我们解释了一旦进入屏幕空间，投影点的 x 和 y 坐标需要重新映射到 NDC 空间。 在前面的课程中，我们还解释了在 NDC 空间中，画布上的点的 x 和 y 坐标包含在 [0,1] 范围内。 但在 GPU 世界中，NDC 空间中的坐标包含在 [-1,1] 范围内。 可悲的是，这又是我们需要处理的惯例之一。 我们本可以保留约定 [0,1]，但由于 GPU 是光栅化的参考，因此最好坚持该术语在 GPU 世界中的定义方式。
你可能想知道为什么我们不首先使用 [-1,1] 约定。 有几个原因。 一次是因为我们认为术语“归一化”应该始终表明正在归一化的值在 [0,1] 范围内。 另外，因为很高兴知道多个渲染系统在 NDC 空间概念方面使用不同的约定。 例如，RenderMan 规范将 NDC 空间定义为在 [0,1] 范围内定义的空间。
因此，一旦将点从相机空间转换为屏幕空间，下一步就是将它们分别从 x 坐标和 y 坐标的范围 [l,r] 和 [b,t] 重新映射到范围 [- 1,1]。 术语 l、r、b 和 t 与画布的左、右、下和上坐标相关。 通过重新排列各项，我们可以轻松找到执行我们想要的重新映射的方程：
其中 x 是屏幕空间中 3D 点的 x 坐标（请记住，从现在开始，我们将假设屏幕空间中的点是三维的，如上所述）。 如果我们从方程中删除 l 项，我们会得到：
将所有项除以 (r-l) 我们得到：
我们现在可以展开方程中间的项：
现在我们可以将所有项乘以 2：
我们现在从所有项中删除 1：
如果我们展开并将重新组合，最终会得到：
这是一个非常重要的方程，因为公式中间方程的红色项和绿色项将成为透视投影矩阵的系数。 我们将在下一课中研究这个矩阵。 但现在，我们只需应用此方程将屏幕空间中的点的 x 坐标重新映射到 NDC 空间（在 NDC 空间中定义时，画布上的任何点的坐标都包含在 [-1.1] 范围内） 。 如果我们对 y 坐标应用相同的推理，我们会得到：
5、整合在一起
在本课程结束时，我们现在可以执行光栅化算法的第一阶段，可以将其分解为两个步骤：
- 将相机空间中的点转换为屏幕空间。 它本质上是将一个点投影到画布上，但请记住，我们还需要存储原始点的 z 坐标。 屏幕空间中的点是树维的，z 坐标将有助于解决稍后的可见性问题。
- 然后，我们使用以下公式将屏幕空间中这些点的 x 和 y 坐标转换为 NDC 空间：
其中l、r、b、t表示画布的左、右、下、上坐标。
将坐标转换为光栅空间非常简单。 我们只需将 NDC 空间中的 x 和 y 坐标重新映射到范围 [0,1] 并将结果数字分别乘以图像宽度和高度（不要忘记在光栅空间中 y 轴向下） 而在 NDC 空间中它会上升。因此我们需要在这个重新映射过程中改变 y 的方向）。 在代码中我们得到：
float nearClippingPlane = 0.1;
// point in camera space
Vec3f pCamera;
worldToCamera.multVecMatrix(pWorld, pCamera);
// convert to screen space
Vec2f pScreen;
pScreen.x = nearClippingPlane * pCamera.x / -pCamera.z;
pScreen.y = nearClippingPlane * pCamera.y / -pCamera.z;
// now convert point from screen space to NDC space (in range [-1,1])
Vec2f pNDC;
pNDC.x = 2 * pScreen.x / (r - l) - (r + l) / (r - l);
pNDC.y = 2 * pScreen.y / (t - b) - (t + b) / (t - b);
// convert to raster space and set point z-coordinate to -pCamera.z
Vec3f pRaster;
pRaster.x = (pNDC.x + 1) / 2 * imageWidth;
// in raster space y is down so invert direction
pRaster.y = (1 - pNDC.y) / 2 * imageHeight;
// store the point camera space z-coordinate (as a positive value)
pRaster.z = -pCamera.z;请注意，栅格空间中的点或顶点的坐标此处仍定义为浮点数，而不是整数（像素坐标的情况就是如此）。
6、下一步是什么？
现在，我们已将三角形投影到画布上，并将这些投影顶点转换为光栅空间。 三角形的顶点和像素都位于同一坐标系中。 我们现在准备循环图像中的所有像素，并使用一种技术来查找它们是否与三角形重叠。 这是下一章的主题。
原文链接：The Projection Stage
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